rotatiecurven

Rotatiecurven zijn in de meetkunde de profielkrommen die worden gebruikt om oppervlakken van revolutie te vormen. Door zo’n profielkromme around een vaste as te draaien, ontstaat een drie-dimensionaal oppervlak met symmetrie rondom die as. De term kan zowel verwijzen naar de generating curve (het vlakke profiel) als naar het uiteindelijke oppervlak dat is ontstaan.

Constructie en notatie

Stel dat de profielkromme in het x-y-vlak wordt gegeven door y = f(x) met f ≥ 0 op een interval [a, b]. Roteren om de x-as levert het oppervlak met parameterisatie X(x, θ) = (x, f(x) cos θ, f(x) sin θ), waarbij θ ∈ [0, 2π). De as kan elke rechte as zijn; bij een andere as verandert de parameterisatie maar blijft het principe hetzelfde. Veel voorkomende voorbeelden zijn kegels (lineair f), cylinders (constant f), paraboloïden (f(x) = ax^2) en zwaarden van een halve cirkel die een bol opleveren.

Eigenschappen en voorbeelden

- Elke dwarsdoorsnede loodrecht op de rotasas is een cirkel.

- Het oppervlak is vaak gericht en heeft rotatiesymmetrie rondom de as.

- Voorbeeld: een halve cirkel als profiel rond de diameter levert een bol; een rechte lijn die de as snijdt levert een kegel; een rechte lijn evenwijdig aan de as levert een cilinder.

Wiskundige formules

- Volume (rotatie om de x-as): V = π ∫_a^b f(x)^2 dx.

- Oppervlakte (lichamelijk oppervlak van revolutie): S = 2π ∫_a^b f(x) sqrt(1 + f'(x)^2) dx.

- Rondom de y-as kun je respectievelijk de shells-methode toepassen: V = 2π ∫_a^b x f(x) dx.

Toepassingen

Rotatiecurven worden breed toegepast in engineering, vervaardiging en computergraphics om objecten te modelleren vanuit eenvoudige profiellijnen. Ze vormen ook een fundamenteel onderwerp in calculus voor berekeningen van volume en oppervlak. In ontwerp en architectuur leveren ze efficiënte, symmetrische vormen op.