ranknulliteit

De rangnuliteitstelling, ook wel de rang-nulliteitstelling genoemd, is een fundamenteel resultaat in de lineaire algebra. Laat V en W vectorruimten over een veld zijn en T: V → W een lineaire transformatie. Als V eindig-dimensionaal is, dan geldt dim(V) = rang(T) + nuliteit(T). De rang van T is de dimensie van het beeld van T, en de nulruimte Ker(T) heeft dimensie nuliteit(T).

In matrixnotatie: voor een m×n-matrix A geldt rang(A) + nuliteit(A) = n, waarbij nuliteit(A) = dim(Ker A) = dim{ x ∈ F^n : A x = 0 }. Zo geeft de stelling aan hoeveel van de variabelen in een lineair systeem daadwerkelijk onafhankelijke vrijheid hebben en hoeveel worden bepaald door de overeenkomsten die het systeem oplegt.

Voorbeeld: neem A = [ [1, 0, 0], [0, 1, 0] ]. Dan T: R^3 → R^2 gedefinieerd door T(x1, x2, x3) = (x1, x2) heeft rang(T) = 2 en nuliteit(T) = 1. De domeinruimte V heeft dimensie 3, en 2 + 1 = 3 bevestigt de rang-nuliteitsstelsel.

Toepassingen van de rangnuliteitstelling zijn onder meer het tellen van vrije variabelen bij lineaire systemen en het begrijpen van de structuur van lineaire transformaties. De stelling geldt voor eindig-dimensionale domeinen; bij oneindig-dimensionale ruimtes vereist de formulering vaak gebruik van kardinale dimensies.