rangnuliteitstelling

Rangnuliteitstelling, också kjent som rang-nullitetstelling, is een kernresultaat in de lineaire algebra. Het geeft een directe relatie tussen de rang van een lineaire transformatie en de nulruimte van die transformatie.

Formeel geldt: laat V en W eindimensionale vectorruimten zijn over een veld en T: V -> W een lineaire transformatie. Dan is de dimensie van V gelijk aan de som van de dimensie van de kernel van T en de dimensie van het beeld van T; met andere woorden dim V = dim Ker(T) + dim Im(T). Voor een matrices-based formulering geldt bovendien: rank(T) + nullity(T) = dim V, en bij een n-kolom matrix A geldt rank(A) + nullity(A) = n.

Definities: de rank van T is de dimensie van het beeld Im(T) en de nulliteit van T is de dimensie van de kernel Ker(T). De kernel bestaat uit alle v in V waarvoor T(v) = 0, het beeld is de verzameling van alle T(v). De stelling impliceert dat de inputruimte kan worden opgesplitst in richting die wel of niet naar nul gaan, met de overige vrijheden die gezamenlijk het beeld vullen.

Betekenis en toepassingen: de rang-nulliteitstelling wordt gebruikt om het oplossingsbeeld van lineaire systemen te begrijpen. De dimensionale grootte van de oplossingsruimte van Ax = 0 is de nulliteit; bij Ax = b met een consistente b is de oplossingsruimte een affine ruimte met dimensie nullity. Als de kernel trivial is (nulliteit 0), dan is de transformatie injectief en geldt rank = dim V.

Voorbeeld: beschouw een 3×4-matrix A met rang 2. Dan is de nulliteit 2, en dim V = 4, wat overeenkomt met een inputruimte die wordt opgesplitst in twee onafhankelijke richting die naar nul gaan en twee richting die het beeld vormen.