potenciação

Potenciação é uma operação matemática que eleva uma base a um expoente, representada pela expressão a^b, onde a é a base e b o expoente. Quando b é inteiro, a^b corresponde à multiplicação repetida da base por si mesma; se b é negativo, a^b = 1 / a^{-b}. Para expoentes fracionários, a expressão envolve raízes, por exemplo a^{p/q} = (raiz q de a)^p, definida para números reais com certas restrições (em especial, quando q é par, requer que a ≥ 0). Expoentes irracionais são definidos pela continuação da função potência.

Aplicando-se a valores específicos, temos: para qualquer a ≠ 0, a^0 = 1; para a = 0, 0^b é 0 quando b > 0, enquanto 0^0 é indeterminado em muitos contextos. Em números reais, bases negativas podem limitar a definição de potências com expoentes não inteiros: se a < 0 e b é racional com denominador par, a^b não é real; para b inteiro, a^b está bem definido.

Propriedades fundamentais incluem: a^m · a^n = a^{m+n} (mesma base), (a^m)^n = a^{mn}, e a^m / a^n = a^{m-n} (a ≠ 0 para a divisão). O caso de expoentes pode ser estendido a números complexos, e a potência por expoente real é uma função bem definida em bases positivas.

História e aplicações: a potenciação tem raízes em várias culturas, com formalizações no período moderno. É central em finanças (juros compostos), ciência, engenharia e computação, além de ser fundamental na notação científica e em escalas de grandeza.