posteriorVerteilungen

Posteriorverteilungen sind Wahrscheinlichkeitsverteilungen, die die Unsicherheit über unbekannte Parameter θ nach der Beobachtung von Daten D ausdrücken. Sie entstehen durch die Anwendung des Bayesschen Theorems und kombinieren eine a priori verteilte Information p(θ) mit der Wahrscheinlichkeitsstruktur der beobachteten Daten p(D|θ). Die Posteriorverteilung wird nach dem Satz p(θ|D) = [p(D|θ) p(θ)] / p(D) bestimmt, wobei p(D) die Evidenz oder Normalisierung ist, die sicherstellt, dass die Verteilung zu 1 aufsummiert bzw. integrierbar ist.

In vielen Fällen lässt sich die Posteriorverteilung analytisch herleiten, insbesondere bei konjugierten Priors. Typische Beispiele sind Normal-Normal, Beta-Binomial und Gamma-Poisson. In solchen Fällen ergibt sich eine Verteilung derselben Familie wie der Prior. Ist eine analytische Form nicht möglich, werden numerische Methoden eingesetzt, zum Beispiel Markov Chain Monte Carlo (MCMC) oder Variational Inference, um eine Näherung der Posteriors zu erhalten.

Posteriorverteilungen ermöglichen die Ableitung von Schlussfolgerungen über θ, einschließlich Punkt- und Intervallschätzungen. Im Bayesianischen Rahmen werden oft Credible Intervals verwendet, um die Unsicherheit zu quantifizieren. Die Verteilung ist mehrdimensional; daher werden oft marginale Posteriors betrachtet oder Kennzahlen wie Erwartungswert, Median oder Modus angegeben. Die Posteriorverteilung liefert außerdem die posteriorprädiktive Verteilung für zukünftige Daten.

Bei der Praxisrelevanz spielen die Wahl der Prior, die Datenmenge, Modellannahmen und empirische Gegebenheiten eine Rolle. Sensitivitätsanalysen untersuchen, wie robust Posteriorverteilungen gegenüber der Prior sind. Posteriorverteilungen bilden die Grundlage vieler Bayesian-Statistik-Anwendungen in Wissenschaft, Technik, Wirtschaft und Statistik.