normaalsubgroep

Een normaalsubgroep, kort normaalsubgroep, is een subgroep N van een groep G die invariant is onder conjugatie door alle elementen van G. Concreet: voor elke g in G geldt g N g^{-1} = N. Dit betekent dat elke conjugatie van N door een element van G weer binnen N ligt, oftewel N is stabiel onder de conjugatieactie van G.

Equivalente karakterisering: voor elk g in G en elk n in N geldt g n g^{-1} ∈ N. Een andere eigenschap is dat de linker- en rechtercosets van N in G samenvallen: gN = Ng voor alle g in G. Hierdoor kan men de quotientgroep G/N vormen, met de cosets als elementen en de machtiging (gN)(hN) = ghN.

Voorbeelden illustreren het idee. In een abelse groep zijn alle subgroepen normaalsubgroepen; bijvoorbeeld in het geheel getal onder optelling (Z, +) zijn de subgroepen nZ normaalsubgroepen. In S3 is A3 een normaalsubgroep van S3. In D4, de dihedrale groep van de vierkantssymmetrieën, is de rotatie-subgroep van orde 4 normaalsubgroep.

Een andere kijk op normaliteit is via homomorfismen: N is normaalsubgroep van G precies wanneer N het kernel is van een groep-homomorfisme φ: G → H. In dat geval volgt uit de First Isomorphism Theorem dat G/N isomorf is aan im φ.

Normaal subgroepen zijn cruciaal voor de constructie van quotientgroepen en voor het begrijpen van groepsstructuren via homomorfismen en isomorfie.