nietorthonormaal

Niet-orthonormaal verwijst naar een verzameling vectoren die niet voldoet aan de definitie van orthonormaal: een verzameling {v1, ..., vk} in een ruimte met een inwendige product is orthonormaal als <vi, vj> = 0 voor i ≠ j en ||vi|| = 1 voor alle i. Als minstens één vector geen éénheidscult of twee verschillende vectoren niet orthogonaal zijn, is de verzameling niet orthonormaal.

In de praktijk worden vaak bases gebruikt die niet orthonormaal zijn. Bijvoorbeeld in R^2 zijn de vectoren v1 = (1, 0) en v2 = (1, 1) een basis maar geen orthonormale verzameling: ||v2|| = √2 en v1 · v2 = 1.

Bij een niet-orthonormale basis vereist het uitdrukken van een vector x als x = a1 v1 + ... + ak vk een oplossing van een lineair systeem. De coëfficiënten a vormen een vector die voldoet aan Ga a = b, waarbij Ga,i = <vi, vj> de Gram-matrix is en bi = <x, vi>. Een eenvoudige berekening zoals a_i = <x, vi> werkt alleen als de basis orthonormaal is. Als dat niet zo is, geeft deze aanpak geen directe coëfficiënten.

Omwille van berekeningen en interpretatie wordt vaak de Gram-Schmidt-procedure toegepast om een orthonormale basis te verkrijgen die hetzelfde subruimte beslaat. Een orthonormale basis vereenvoudigt projecties, decomposities en de berekening van coëfficiënten.

Toepassingen en overwegingen: niet-orthonormale bases komen veel voor in praktische representaties en feature-sets, maar vereisen het oplossen van systemen en kunnen numeriek stabieler zijn wanneer men met orthonormale bases werkt. Zie ook orthonormaal en Gram-Schmidt.