maximización

La maximización es el proceso de hallar el mayor valor posible de una función objetivo dentro de un conjunto de soluciones, llamado conjunto factible. En un problema de optimización, se busca un punto que maximice f(x) sujeto a restricciones. Se diferencia entre máximo global (el mayor valor en todo el conjunto) y máximo local (un punto que es mayor que los vecinos en su entorno).

Los elementos clave son la función objetivo f: R^n → R, las variables de decisión y las restricciones que definen el conjunto factible. La solución óptima es el punto x que alcanza el mayor valor de f entre todas las soluciones que cumplen las restricciones. Los problemas pueden ser sin restricciones, con restricciones de igualdad o de desigualdad, o discretos (donde las variables toman valores discretos) y continuos.

En distintas disciplinas se aplica la maximización de diferentes maneras. En economía, se busca maximizar la utilidad o el beneficio; en estadística, la estimación de máxima verosimilitud corresponde a maximizar la probabilidad de observar los datos dadas las suposiciones del modelo; en ingeniería y ciencia de la computación, se optimizan rutas, presupuestos, o recursos para obtener el mejor desempeño.

Métodos. En el plano analítico, se utilizan derivadas para encontrar puntos estacionarios y pruebas de segunda derivada para distinguir máximos de mínimos. Con restricciones, se emplean multiplicadores de Lagrange para igualdad y las condiciones KKT para desigualdades. En métodos numéricos, el gradiente ascendente busca aumentar f paso a paso; en problemas convexos, si la función objetivo es cóncava y el conjunto factible es convexo, cualquier máximo local es global. En problemas lineales, la optimización se aborda con la programación lineal y algoritmos como el método del simplex.

Existencia y unicidad dependen de condiciones como la continuidad de f y la compacidad del conjunto; en general, pueden existir máximos pero no siempre son únicos.