probabilidad

Probabilidad es la rama de las matemáticas que estudia la cuantificación de la incertidumbre ante la ocurrencia de eventos. En su marco formal, un espacio de probabilidad está compuesto por un conjunto Ω llamado espacio muestral, una σ-álgebra F de subconjuntos de Ω y una función P: F → [0,1] llamada función de probabilidad, que satisface P(Ω)=1 y P(A∪B)=P(A)+P(B) para A,B disjuntos. En la definición clásica, si todos los resultados posibles son equiprobables, P(A)=n(A)/n(Ω).

Existen interpretaciones distintas: frecuentista, que entiende P(A) como la frecuencia relativa de A en ensayos repetidos; y bayesiana o subjetiva, que asigna creencias previas y las actualiza con evidencia mediante el teorema de Bayes. Un objeto central es la variable aleatoria X, una función que asigna un valor numérico a cada resultado del experimento. Su distribución se describe por la función de distribución F(x)=P(X≤x) o por la función de masa de probabilidad o densidad. Se estudian la esperanza E[X], la varianza Var(X) y otros momentos.

Reglas básicas incluyen la probabilidad condicional P(A|B)=P(A∩B)/P(B) cuando P(B)>0; la independencia; y el teorema de Bayes P(A|B) = P(B|A)P(A)/P(B). Las probabilidades pueden ser discretas o continuas, y se estudian distribuciones como binomial, normal, Poisson, exponencial, entre otras. En el campo se destacan la ley de los grandes números y el teorema central del límite.

Las aplicaciones abarcan estadística, ciencia de datos, finanzas, ingeniería, medicina, ciencia ambiental e inteligencia artificial. Su historia incluye aportes de Pascal y Fermat en el siglo XVII y la formalización moderna por Kolmogorov en 1933.