likelihoodschattingsmethoden

Likelihoodschätzmethoden umfassen statistische Verfahren zur Bestimmung der Parameter eines Modells, die auf der Likelihood-Funktion basieren. Die Likelihood L(θ) eines Parameters θ given die beobachteten Daten x misst, wie wahrscheinlich es ist, diese Daten unter dem Modell mit Parameter θ zu beobachten. Das Standardverfahren ist die Maximum-Likelihood-Schätzung (MLE), bei der die Parameter so gewählt werden, dass L(θ) bzw. die Log-Likelihood log L(θ) maximiert wird. Unter geeigneten Regularitätsbedingungen besitzt die MLE oft Eigenschaften wie Konsistenz und asymptotische Normalität sowie Effizienz, gemessen durch die Fisher-Information.

In der Praxis kommen verschiedene Varianten zum Einsatz. Die Profil-Likelihood nutzt Maximierung über Teilmengen von Parametern, um Nuisance-Parameter auszukoppeln. Penalized-Likelihood-Verfahren fügen der Log-Likelihood eine Strafe hinzu, um Überanpassung zu verhindern; Beispiele sind Ridge- oder Lasso-Regularisierung in Hochdimensionalen Modellen. Pseudo- oder zusammengesetzte Likelihood-Verfahren bilden Produkt- oder Näherungslikelihoods aus Teilmodellen, wenn die vollständige Likelihood schwer zu berechnen ist, etwa bei Abhängigkeiten oder unvollständigen Daten.

Bayessche Schätzmethoden verwenden die Likelihood zusammen mit einer a priori-Verteilung, um die Posterior-Verteilung zu erzeug. Typische Schätzer sind der Posterior-Modus (MAP) oder der Posterior-Durchschnitt. Für fehlende Daten oder latente Strukturen führt der Expectation-Maximization-Algorithmus (EM) iterativ E- und M-Schritte durch und maximiert so die Likelihood.

Weitere Ansätze umfassen die nichtparametrische Likelihood-Schätzung, empirische Likelihood und Ansätze zur Modellselektion (Likelihood-Ratio-Tests, Informationskriterien wie AIC/BIC). Likelihoodschätzmethoden bilden eine zentrale Grundlage vieler statistischer Modelle und Anwendungen.