langeafstandisingsmodellen

Langeafstandisingsmodellen zijn Ising-achtige modellen waarbij de spins op een rooster niet alleen met hun naaste buren interageren, maar met alle andere spins via een kracht die afneemt met de afstand volgens een machtwetten J(r) ≈ r^{-(d+σ)}. Het Hamiltoniaan kan geschreven worden als H = - sum_{i<j} J(|i-j|) S_i S_j, waarbij S_i = ±1 en d de ruimtelijke dimensie van het systeem is. De parameter σ > 0 bepaalt hoe lang het bereik van de interactie is: kleinere σ betekent sterkere langeafstandsinteracties. In praktische modellen kan J(r) ook afgekapt worden op een cutoff.

Historisch gezien leverden Dyson (1969) en latere werken van Fisher, Ma en Nickel belangrijke inzichten op. Dyson toonde aan dat een oneindig langgerekt 1D Ising-model met J(r) ∝ r^{-(1+σ)} een faseovergang heeft bij een finite temperatuur voor 0 < σ ≤ 1 (met logaritmische correcties bij σ = 1). Later werd duidelijk hoe langeafstandskoppelingen zich verhouden tot korte-afstandsgedrag via renormalisatiegroeptheorie; Sak leverde criteria voor een crossover tussen langeafstand en korteafstand universalisme.

Kritische regimes hangen af van d en σ. In het algemeen geldt dat voor kleine σ de langeafstandfixedpunt kritische exponenten oplevert die afhangen van σ (vaak met waarneembare continue variatie van β, γ, ν en η). Voor voldoende grote σ wordt het systeem governed door het korteafstandsfixedpunt en vertakt men naar de universalisme van het korteafstands-Ising-model in d dimensies. Een veelgeciteerde randvoorwaarde is σ* ≈ 2 - η_SR(d), waarna de langeafstandscorrespondentie verdwijnt en men de korteafstandsgedrag ziet.

Toepassingen en methoden: Langeafstandisingsmodellen dienen als testbed voor renormalisatiegroeptechnieken en Monte Carlo-simulaties. Ze modelleren magnetische materialen met indirecte uitwisseling (zoals RKKY-interacties) en bieden inzicht in systemen waarin langeafstandsinteracties voorkomen, waaronder netwerken en neural-gelijksoorten systemen.