kdichtheid

Kdichtheid is geen vaste, standaard term op zichzelf, maar doorgaans een verwijzing naar dichtheid in k-dimensies of naar een multivariate dichtheidsfunctie. In wiskunde en statistiek beschrijft het hoe een hoeveelheid (zoals kans, massa of een andere conserved hoeveelheid) verdeeld is over een k-dimensionale ruimte.

In de context van waarschijnlijkheid en statistiek is een k-dimensionale dichtheid een functie f: R^k → [0, ∞) waarbij de integrate van f over de hele k-dimensionale ruimte één is. Daarmee voldoet f aan de eigenschap dat het totale “gewicht” over alle mogelijke x^∈R^k gelijk is aan 1. Marginale dichtheden ontstaan door integratie over sommige variabelen: bijvoorbeeld f1(x1) = ∫ f(x1, x2, ..., xk) dx2...dxk.

Een bekend voorbeeld is de multivariate normaalverdeling, waarbij de dichtheid geldt: f(x) = (2π)^{-k/2} |Σ|^{-1/2} exp(-½ (x−μ)^T Σ^{-1} (x−μ)), met μ de vector van gemiddelden en Σ de covariantiematrix. Dichtheden kunnen ook parametrisch worden gemodelleerd (zoals multivariate Gaussiaanse modellen) of nonparametrisch worden geschat met technieken als kernel density estimation (KDE) in k dimensies. In hoge dimensies nemen de problemen zoals de vereiste hoeveelheid data en de computatiefbelasting toe (de zogeheten curse of dimensionality).

Dichtheid verschilt van massa- of volumendichtheid uit de natuurkunde, waar dichtheid meestal een lokale hoeveelheid is die masseert per eenheidsvolume is. In de kansrekening dient dichtheid echter primair als algebraïsche beschrijving van verdeling, zodat integratie en marginalisatie geldige operaties blijven.

Zie ook: kansdichtheid, multivariate verdelingen, kernel density estimation.