irreflexief

Irreflexief, of irreflexieve relatie, is een eigenschap van een binaire relatie op een verzameling. Een relatie R op X is irreflexief als voor elk element x in X geldt dat x Rx niet waar is; in symbolen: voor alle x in X geldt niet xRx. Met andere woorden: er bestaat geen enkel element x waarvoor x is gerelateerd aan zichzelf.

Voorbeelden helpen bij begrip. De relatie “kleiner dan” (<) op de verzameling van getallen is irreflexief, omdat geen getal kleiner kan zijn dan zichzelf. Een andere voorbeeld is de relatie “is een proper deler van” op de natuurlijke getallen: geen getal is een proper deler van zichzelf, dus x is geen proper deler van x. Een derde voorbeeld is de relatie “x heeft y als volgende getal” op de natuurlijke getallen, waarbij xRy als y = x + 1; deze relatie is irreflexief maar niet transitief, omdat als xRy en yRz gelden (dus y = x+1 en z = y+1), xRz wel geldt in deze opzet maar dit is afhankelijk van de definitie, wat illustreert dat irreflexief zijn op zichzelf geen transitive eigenschap garandeert.

Relatief gegeven: irreflexief leidt tot niet-reflexief. Een relatie kan niet-reflexief zijn maar niet irreflexief als er toch elementen zijn x met xRx, wat bij irreflexieve relaties expliciet uitgesloten is. Een belangrijke combinatie is irreflexief en transitief; zo’n relatie is automatisch asymmetrisch. In de wiskundige context wordt een irreflexieve en transitieve relatie vaak een strikt orde genoemd; als hij ook totaal is (voor elk verschillend paar x ≠ y geldt ofwel xRy of wel yRx), spreken we van een strikt totaalorder.

Zie ook: reflexieve relatie, asymmetrische relatie, transitieve relatie, strikte orde.