intervallsummor

Intervallsummor är en klass av uttryck inom analys som definieras som summor av funktionsvärden över delintervaller i en partition av ett intervall. Låt f vara en funktion på intervallet [a,b] och P = {a = x0 < x1 < ... < xn = b} en partition. För varje delintervall [x_{i-1}, x_i] väljs ett punktsvärde ξ_i ∈ [x_{i-1}, x_i]. Intervallsumman S(P,f; ξ) definieras som S = sum_{i=1}^n f(ξ_i) (x_i - x_{i-1}). Om xi* väljs som vänsterändpunkt erhålls vänstersumman L(P,f) och om xi* är högerändpunkten erhålls högersumman R(P,f). Om ξ_i är melltpunkten erhålls mitten- eller medelsumman M(P,f).

Dessa summor utgör grunden i Riemann-integrationen: S(P,f; ξ) är en närmande av integralen ∫_a^b f(x) dx. Om funktionen är Riemann‑integrerbar och partitionens norm ||P|| går mot noll, konvergerar intervallsumman mot integralens värde. För monotona funktioner ger vänstersumman och högersumman ofta ett sänkt och ett ökat över- respektive underestimater för integralen.

Relaterade begrepp inkluderar trapezregel och mittenregel, vilka kan ses som särskilda kombinationer av intervallsummor för att förbättra noggrannheten. Användningar finns inom numerisk integration där endast provvärden av f finns eller där analytisk antiderivata saknas. Intervallsummor generaliseras även till flerdimensionella regioner där summorna motsvarar integrering över rektanglar i en kvadratisk eller högre‑dimensional partition.