Riemannintegrationen

Riemannintegration ist ein Verfahren zur Bestimmung des bestimmten Integrals einer Funktion auf einem geschlossenen Intervall. Es basiert auf Riemann-Summen. Gegeben sei ein Intervall [a, b] mit einer Zerlegung oder Partition P: a = x0 < x1 < … < xn = b. Zu jedem Unterintervall [x_{i-1}, x_i] wählt man einen Stichpunkt t_i in diesem Intervall und bildet die Summe S = sum_{i=1}^n f(t_i) (x_i - x_{i-1}). Die Masche der Partition ist der maximale Abstand zwischen benachbarten Stichpunkten. Das Integral existiert, wenn der Grenzwert von S gegen diesen Maschenwert geht, wenn die Masche gegen Null geht, und zwar unabhängig von der Wahl der Stichpunkte.

Eine Funktion ist Riemann-integrierbar, wenn sie auf dem Intervall beschränkt ist und dieser Grenzwert existiert. Nach dem Lebesgue-Kriterium ist dies genau dann der Fall, wenn die Menge der Diskontinuitäten eine Null-Messung hat. Besonders gut integrierbar sind stetige Funktionen und monoton wachsende oder fallende Funktionen; einfache Funktionen und stückweise stetige Funktionen gehören ebenfalls dazu.

Zu den grundlegenden Eigenschaften gehören Lineareigenschaft, Additivität über Intervalle sowie die Verbindung zur Ableitung über das Fundamentaltheorem der Analysis: Sei F(x) = ∫_a^x f(t) dt. Unter Bedingungen der Stetigkeit von f ist F differentiierbar und F' = f. Damit liefert das Integral auch eine Fläche unter dem Graphen.

Unendliche oder unbeschränkte Integrale werden als unbeschränkte oder unbestimmte Riemann-Integrale als Grenzwert definiert, z. B. ∫_a^∞ f(x) dx = lim_{R→∞} ∫_a^R f(x) dx, sofern der Grenzwert existiert. Die Riemannintegration bildet eine klassische Grundlage der Analysis.