indexeringsverzameling

Indexeringsverzameling is een term uit de wiskunde die verwijst naar de verzameling die een familie van objecten labelt of rangschikt. Een familie bestaat uit een verzameling objecten die per element van de indexeringsverzameling I een specifiek object A_i toewijst. De indexeringsverzameling fungeert dus als labelset voor de leden van de familie.

Formeel kan een familie (A_i)_{i∈I} worden gezien als een functie A: I → U, waarbij I de indexeringsverzameling is en U een universele verzameling of soort objecten bevat (bijvoorbeeld verzamelingen, vectorruimten, functies, enz.). Voor elk i ∈ I geeft A(i) het bijbehorende object aan, vaak aangeduid als A_i. Een reeks is een speciale soort familie waarbij I de natuurlijke getallen is (I = {1, 2, 3, ...}).

Toepassingen en kenmerken:

- Wettelijk gesproken kan elke operatie op verzamelingen of objecten over de gehele familie gedefinieerd worden met indexering, zoals ∪_{i∈I} A_i of ∩_{i∈I} A_i, of een product over de familie.

- Families kunnen eindig of oneindig zijn; de grootte van I bepaalt vaak de complexiteit van de verzameling van objecten.

- De indexeringsverzameling hoeft geen orde te dragen, maar soms wordt I wel met een partiële orde gegeven. In die gevallen kan men spreken van gerichte systemen of directe limieten in categorie-theoretische contexten.

Voorbeelden:

- Een familie van subsets van X, aangeduid als (A_i)_{i∈I} met A_i ⊆ X.

- Een verzameling functies f_i: X → Y, genummerd door i ∈ I.

Samengevat is de indexeringsverzameling de labelset die bepaalt welke objecten bij elkaar horen in een gefragmenteerde of gestructureerde verzameling.