hypervlakarrangementen

Hypervlakarrangementen zijn een verzameling van een eindig aantal hypervlakken in een vectorruimte, meestal in R^n of C^n. Ze worden bestudeerd vanuit combinatorische, topologische en algebraïsche invalshoeken. Een belangrijk onderscheid is tussen centrale arrangementen, waarbij alle hypervlakken door de oorsprong gaan, en affine (niet-centrale) arrangementen.

De structuur van een hypervlakarrangement wordt vastgelegd door de verschillende snijdingen van verzamelingen hypervlakken. De verzameling L(A) van niet-lege snijpunten van subverzamelingen hypervlakken, geordend naar omgekeerde inclusie, vormt de snij-lattice en bevat de belangrijkste combinatorische informatie van het arrangement. Het complement M(A) = V \ ⋃H∈A H is de ruimte die overblijft nadat alle hypervlakken zijn verwijderd; deze ruimte is vaak topologisch rijk.

In reële ruimtes verdelen de hypervlakken de ruimte in verbonden componenten genaamd kamers of regio’s. Het tellen van deze kamers is een klassieke vraag in de combinatorische topologie en kan uit de karakteristieke polynoom van de snij-lattice worden afgeleid via de Zaslavsky-stelling.

Voorbeelden en bouwstenen zijn onder meer het braid-arrangement, gedefinieerd door Hij = {x ∈ R^n | x_i = x_j}, dat als fundamenteel model dient in de studie van permutaties en Coxetergroepen. Hypervlakarrangementen worden doorgaans via realiseringen van matroïden bestudeerd, waarbij de normals van de hypervlakken een representatie vormen.

Algebraïsche invarianten omvatten de Orlik–Solomon-algebra, die de cohomologie van het complex-complement berekent via combinatorische data, en het Salvetti-complex als een combinatorieel model voor de topologie van het complex-Complement. Toepassingen komen voor in topologie, combinatoriek, optimalisatie en de studie van braaden en Coxetergroepen. Referenties: Orlik–Terao, Arrangements of Hyperplanes.