homeomorfismus

Een homeomorfismus is in de topologie een bijectieve continue afbeelding f: X -> Y tussen twee topologische ruimten X en Y waarvan de inverse f^{-1}: Y -> X ook continu is. Als zo'n f bestaat, spreken we ervan dat X en Y homeomorf zijn; de ruimten hebben dan dezelfde topologische structuur, oftewel ze zijn topologisch gezien gelijk.

Eigenschappen: Homeomorfismen zijn de isomorfismen van de categorie topologische ruimten; de samenstelling van twee homeomorfismen is weer een homeomorfismus en de inverse van een homeomorfismus is eveneens een homeomorfismus. Ze bewaren topologische eigenschappen zoals verbondenheid, compactheid en de structuur van open en gesloten verzamelingen.

Voorbeelden: De identieke functie id_X is triviaal een homeomorfismus. Op de reële getallen R met de standaardtopologie is f(x)=2x een homeomorfismus met inverse f^{-1}(x)=x/2. De ruimte R^n is net als R homeomorf aan zichzelf onder veel niet-triviale vervormingen.

Betekenis: Het begrip dient als criterium voor topologische equivalentie. Ruimten die homeomorf zijn, worden als dezelfde topologische soort beschouwd. In toepassingen wordt vaak gekeken naar invarianten die bij een homeomorfisme bewaard blijven, zoals de fundamentele groep en homologie, om onderscheid te maken tussen ruimten die niet homeomorf zijn.