gradientberekeningen

Gradientberekeningen zijn berekeningen die gericht zijn op het bepalen van de gradient van een scalair functie f: R^n -> R. De gradient geeft de richting van de grootste stijging van f en speelt een sleutelrol in wiskunde, natuurkunde, techniek en datawetenschap.

Voor een functie f van n variabelen x = (x1, ..., xn) wordt de gradient g = ∇f(x) = (∂f/∂x1, ..., ∂f/∂xn). Deze vector laat zien in welke richting f zich het snelst verandert. De directional derivative in de richting u is D_u f = ∇f · u. De gradient staat loodrecht op de niveau-sets van f.

Berekenen: analytisch door symbolische afleiding; numeriek met differentie-methoden zoals finite differences; en via automatische differentiatie (AD) waarbij met behulp van regels de afgeleiden efficiënt worden berekend (forward-mode en reverse-mode).

Toepassingen: optimalisatie (gradient descent/gradient ascent), machine learning (afgeleid van het verlies ten opzichte van parameters tijdens backpropagation), simulaties en fysica (veldgradienten), engineering en beeldvorming. Voorbeeld: f(x,y) = x^2 + y^2 heeft ∇f = (2x, 2y); bij (1, 2) levert dat (2, 4).

Samenvatting: gradientberekeningen combineren wiskundige definities met numerieke en automatische methoden om veranderingen van schaalvariabelen te analyseren en om efficiënte optimalisaties te realiseren.