getalvelden

Getalvelden, ook wel number fields genoemd, zijn velden K in de veldtheorie die eindig over Q zijn: K is een eindige extensie van het veld van rationele getallen. Met andere woorden, Q is een subveld van K en K is als Q-vectorruimte van dimensie n < ∞. Elk element van een getalveld is algebraïsch over Q.

Getalvelden worden gekenmerkt door hun inbeddings in de complexe getallen. Als K een getalveld is, bestaan er r1 real inbeddings en r2 paren complexe inbeddings in C, zodat n = r1 + 2 r2. Een veld is volledig reëel als r2 = 0, en volledig imaginair als r1 = 0.

Veelvoorkomende voorbeelden zijn Q; Q(√2); Q(i) = Q(√−1); en Q(∛2), een getalveld van graad 3. De verzameling van elementen van K die algebraïsche gehele getallen zijn, vormt de ring van gehele getallen O_K. Deze ring is een integrale domein en in veel gevallen een Dedekind domein.

Belangrijke invarianten van getalvelden zijn onder meer de graad n = [K:Q], het aantal inbeddings (r1 real en r2 paren complexe inbeddings), de discriminant en de ring van gehele getallen. Deze invarianten spelen een centrale rol in de algebraïsche getaltheorie en bij de studie van p-adische eigenschappen en factorisatie in klassengroepen.

Getalvelden vormen een fundamenteel kader in de wiskunde, met toepassingen in Diophantische vergelijkingen, L-functies en de studie van algebraïsche getallen. Ze geven inzicht in getalachtige eigenschappen en onderling verband tussen verschillende getalvelden.