geslotenformule

Een geslotenformule is een wiskundige uitdrukking die in een eindige reeks bewerkingen kan worden geëvalueerd tot een exacte waarde. In de meest gangbare definities bestaat zo’n uitdrukking uit algebraïsche bewerkingen (optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen), wortels, machten en soms exponentiële, logaritmische en trigonometrische functies. Het idee is dat de waarde van een variabele kan worden berekend zonder terugkerende berekeningen of recurrsieve definities.

In de praktijk wordt het begrip vaak gebruikt voor uitdrukkingen die een reeks of patroon in één keer kunnen vastleggen. Voorbeelden zijn de som van een meetkundige rij en reeksen die met een formule direct kunnen worden berekend in plaats van stap voor stap opgebouwd te worden. Een klassiek geval is de som van een meetkundige rij: S_n = a(1 − r^n)/(1 − r) voor r ≠ 1. Ook de gesloten vorm van de n-de Fibonacci-getal bestaat: F_n = (φ^n − ψ^n)/√5, met φ = (1 + √5)/2 en ψ = (1 − √5)/2.

Er bestaan grenzen aan het begrip geslotenformule. Niet alle wiskundige problemen hebben een dergelijke uitdrukking; bijvoorbeeld het algemene quintic-probleem heeft geen oplossing in radicalen. In de symbolische wiskunde kan de definitie ook afhangen van welke functies als toegestaan worden beschouwd (elementaire functies, speciale functies, enz.). Desondanks biedt een geslotenformule vaak een directe, exacte evaluatie en geeft zij inzicht in de structuur van het probleem.