finitesdifferenzenMethoden

FinitesdifferenzenMethoden (im Deutschen häufig Finite-Differenzen-Methoden, FDM) sind numerische Verfahren zur Lösung von Differentialgleichungen durch Diskretisierung der Ableitungen mithilfe endlicher Differenzen auf einem diskreten Gitter. Sie werden vor allem zur Behandlung von Rand- und Anfangswertproblemen für gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen eingesetzt und finden Anwendung in Physik, Ingenieurwesen und Technik.

Grundprinzip ist, dass der kontinuierliche Operator durch eine Matrixoperator ersetzt wird. Der Definitionsbereich wird in Gitterpunkte unterteilt, und Ableitungen werden durch Differenzenquotienten angenähert. Typische Differenzenquellen sind Vorwärts-, Rückwärts- oder zentrale Differenzen. Beispielsweise liefert die zentrale Differenzscheibe für die erste Ableitung f'(x_i) ≈ (f(x_{i+1}) − f(x_{i-1}))/(2h) und für die zweite Ableitung f''(x_i) ≈ (f(x_{i+1}) − 2f(x_i) + f(x_{i-1})) / h^2. In mehrdimensionalen Fällen ergeben sich entsprechende Stencils, etwa der 5-Punkt-Stencil für den Laplace-Operator in zwei Dimensionen.

Anwendungen betreffen elliptische, parabolische und hyperbolische PDEs. Zeitabhängige Probleme werden mit zeitlichen Schemen behandelt, wobei explizite und implizite Verfahren Unterschiede bei Stabilität und Rechenaufwand aufweisen. Stabilitäts- und Konvergenzanalysen orientieren sich an Konsistenz, Stabilität und Konvergenz (Lax-Richtlinien) und oft an der CFL-Bestimmung.

Randbedingungen wie Dirichlet, Neumann und Robin werden in das Diskretisierungssystem integriert. Die entstehenden Matrizen sind üblicherweise spärlich, was den Einsatz direkter oder iterativer Lösungsverfahren (Jacobi, Gauss-Seidel, SOR, Conjugate Gradient) erfordert. Vor- und Nachteile gegenüber anderen Methoden wie Finite-Elemente- oder Finite-Volumen-Methoden hängen von Geometrie, Regularität der Lösung und Genauigkeitsbedarf ab.