factorizaciones

La factorización es la representación de un objeto matemático como producto de factores más simples. En general, el objetivo es descomponer un objeto en componentes que resulten más fáciles de estudiar o usar en cálculos.

Factorización de enteros: factorizar un entero n en factores primos. Según el teorema fundamental de la aritmética, cada entero mayor que 1 se puede expresar de forma única como producto de primos, salvo el orden y las potencias de unidades. Por ejemplo, 60 = 2^2 · 3 · 5. Estas factorizaciones son importantes en teoría de números y criptografía. La obtención práctica emplea divisiones, cribas como la criba de Eratóstenes o algoritmos más avanzados.

Factorización de polinomios: descomponer un polinomio en un producto de polinomios de menor grado con coeficientes en un anillo o cuerpo dado, de modo que los factores sean irreducibles. En los polinomios con coeficientes en los racionales, el lema de Gauss ayuda a entender la estructura de la factorización y la unicidad, que se aplica hasta el orden y las unidades. Se utilizan técnicas y algoritmos como pruebas de irreducibilidad y divisiones polinómicas.

Factorización de matrices: descomposición de una matriz en el producto de matrices simples, por ejemplo LU, QR, Cholesky, o factorización en valores singulares (SVD). Estas descomposiciones facilitan la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, el cálculo de determinantes, inversas y análisis numérico.

Propiedades generales: en dominios de factorización única muchas factorizaciones son únicas. En enteros y polinomios, la unicidad se refiere a factores irreducibles únicos. El estudio de las factorizaciones es central en varias ramas de las matemáticas y la computación.