endlichendimensionalen

Endlichendimensionale Strukturen, im mathematischen Gebrauch oft als endlichdimensionale Räume bezeichnet, beziehen sich auf Objekte, die eine endliche Anzahl von Dimensionen besitzen. Die adverbiale oder attributive Form „endlichendimensionalen“ tritt in deklinierten Phrasen auf, etwa in „in endlichendimensionalen Räumen“.

In der linearen Algebra wird ein Vektorraum V über einem Körper F als endlichdimensional bezeichnet, wenn es eine endliche Basis {v1, ..., vn} gibt. Die Dimension dim(V) ist dann gleich n. Folgerungen daraus: Alle Basen von V haben dieselbe Kardinalität, V ist isomorph zu F^n, und lineare Abbildungen zwischen endlichdimensionalen Räumen lassen sich durch Matrizen darstellen. Zudem gilt in endlichen V: Jede Norm ist äquivalent, und lineare Abbildungen sind stetig und beschränkt.

Weitere Eigenschaften betreffen die Topologie: In endlichen Dimensionsräumen erfüllt der Satz von Heine-Borel, dass abgeschlossene und beschränkte Mengen kompakt sind. Unterräume eines endlichdimensionalen Raums sind automatisch endlichdimensional und oft auch abgeschlossen. Praktische Beispiele sind der Raum R^n mit der üblichen Struktur, der Raum der Polynome bis Grad ≤ n über einem Körper und viele Unterräume von R^n.

Die Unterscheidung zu unendlichdimensionalen Räumen ist grundlegend in der Analysis, da viele in der Funktionalanalysis geltende Ergebnisse nur in endlicher Dimension gelten. Endlichdimensionale Räume zeichnen sich durch einfachere Strukturierung aus: alle Normen sind äquivalent, und der algebraische sowie der topologische Aufbau lassen sich umfassend und oft explicitly bestimmen.