elicoide

El helicoide, también llamado elicoide, es una superficie mínima reglada generada por una recta que se desplaza con una torsión constante alrededor de un eje fijo. Se puede imaginar como el resultado de un movimiento en tornillo, donde la recta generatriz gira alrededor de un eje y avanza en su dirección.

Una parametrización común es X(u,v) = (v cos u, v sin u, c u), donde u y v son parámetros reales y c es una constante distinta de cero que determina la inclinación del eje. A medida que varía u, la recta generatriz gira alrededor del eje z y avanza en la dirección z; el valor c controla la pitch del helicoide, igual a 2πc por giro completo.

Propiedades: el helicoide es una superficie mínima, es decir, su curvatura media es nula en cada punto. Es una superficie reglada, ya que está formada por rectas que actúan como generatrices. Es completa y simplemente conectada. Posee simetría helicoidal: una traslación combinada con una rotación about el eje es un automorfismo de la superficie. Es conjugada del catenoide, otro ejemplo destacado de superficie mínima.

Historia y contexto: el helicoide fue estudiado en el siglo XVIII por matemáticos como Euler y Meusnier, y hoy se considera un ejemplo canónico en la teoría de superficies mínimas, sirviendo de puente entre la geometría y la física de superficies.

Usos y significados: sirve como modelo en geometría diferencial, diseño arquitectónico y visualización de superficies con simetría helicoidal; también ilustra la relación entre superficies mínimas y movimientos de rotación y traslación.