eigenfunctieuitbreiding

Een eigenfunctieuitbreiding is het uitdrukken van een functie als een lineaire combinatie (of integraal) van de eigenfuncties van een lineaire operator. Als een verzameling eigenfuncties φ1, φ2, … een volledige basis vormt van een ruimte (bijvoorbeeld een Hilbertruimte), dan kan elke functie f in die ruimte worden geschreven als f = sum_n c_n φ_n of, bij een continu spectrum, als f = ∫ c(λ) φ_λ dμ(λ). De eigenfuncties voldoen aan T φ_n = λ_n φ_n voor een operator T en bij volledige, orthogonale verzamelingen leiden ze tot een diagonalisatie van T.

De coëfficiënten c_n (of c(λ)) bepalen de bijdrage van elke eigenfunctie aan f. Voor genormaliseerde eigenfuncties geldt c_n = ⟨f, φ_n⟩, en bij niet-genormaliseerde φ_n geldt c_n = ⟨f, φ_n⟩ / ⟨φ_n, φ_n⟩. De representatie convergeert in de norm van de ruimte; in sommige gevallen geldt ook puntwise convergentie. Parseval en Plancherel geven gelijkheden tussen de energie van f en de som van de energieën van de coëfficiënten.

Voorbeelden en context: Fourier-reeksen kunnen worden gezien als een eigenfunctieuitbreiding van de afgeleide-operator onder periodieke randvoorwaarden, met φ_n(x) = e^{i n x} en eigenwaarden λ_n = -n^2. Sturm–Liouville-problemen leveren doorgaans een complete set orthogonale eigenfuncties op, waardoor functies op een interval kunnen worden uitgebouwd.

Toepassingen van eigenfunctieuitbreidingen bevinden zich in de oplossingen van differentiaalvergelijkingen, kwantummechanica, signaal- en beeldverwerking, en andere gebieden waar lineaire operatoren aanwezig zijn. Bij continu spectrum wordt vaak een integraaluitbreiding gebruikt in plaats van een discrete reeks.