differentialoperatoren

Differentialoperatoren sind Operatoren, die auf Funktionen oder Sektionen von Vektorbundeln wirken und lokal aus Ableitungen endlicher Ordnung aufgebaut sind. In der Praxis werden sie oft als lineare Operatoren verstanden, die sich durch Koeffizientenfunktionen a_α(x) und partielle Ableitungen D^α bis zur Ordnung m ausdrücken lassen. In mehrdimensionalen Räumen schreibt man L gewöhnlich als L = sum_{|α|≤m} a_α(x) D^α, wobei D^α = ∂^{|α|}/∂x_1^{α_1} ... ∂x_n^{α_n} und die Koeffizienten glatt oder regelmäßig sein können.

Beispiele umfassen den Laplace-Operator Δ = sum_i ∂^2/∂x_i^2, den Wärmeoperator ∂_t − Δ und den D'Alembert-Operator ∂_t^2 − Δ; Generalisierungen betreffen Operatoren mit konstanten oder variablen Koeffizienten.

Der Haupt- oder Symbol eines Differentialoperators L ist σ_L(x,ξ) = sum_{|α|=m} a_α(x) (iξ)^α. Darauf basierend unterscheidet man elliptische, hyperbolische und parabolische Operatoren; diese Klassen geben Hinweise zu Existenz, Eindeutigkeit und Regularität von Lösungen von L(u)=f.

Auf Manifolds und Vektorbundeln definiert, bleibt die Definition lokal durch Koordinaten und ist invariant unter Koordinatenwechsel. Der adjungierte Operator L^ ergibt sich aus dem L^2-Innerprodukt, und Operatoren lassen sich auf Distributionen erweitern.

Anwendungsgebiete sind die PDE-Theorie, Grenz- bzw. Randwertprobleme, mathematische Physik und Geometrie; Differentialoperatoren modellieren physikalische Prozesse und geometrische Strukturen.