Wärmeoperator

Der Wärmeoperator ist ein linearer partiell-differentialoperator, der mit der Wärmegleichung assoziiert ist. In der Standardform lautet sie ∂u/∂t − Δu = 0, wobei Δ der Laplace-Operator in den räumlichen Koordinaten ist. Er tritt in vielen Dimensionen auf und wird oft in der Form ∂t u − Δu geschrieben.

Für gegebenes Anfangsprofil f(x) beschreibt der Wärmeoperator die Lösung der Anfangswertaufgabe u(x,t) mit t > 0 als Faltungs integral: u(x,t) = (Γ(·,t) * f)(x), wobei Γ die fundamentale Lösung (Gaußsche T Kern) Γ(x,t) = (4π t)^{-n/2} exp(-|x|^2/(4t)) ist. Diese Darstellung zeigt, wie das Profil mit zunehmendem t glatt wird.

Der Wärmeoperator erzeugt die Wärmesemigroup e^{tΔ}, eine analytische Semigruppe, die Glättungseffekte besitzt, Positivität erhält und von L^p nach L^q abbildet. Typischerweise führt er zu einer Verbesserung der Regularität der Lösung (Greening).

Allgemein lässt sich das Konzept auf Riemannianische Mannigfaltigkeiten mit dem Laplace-Beltrami-Operator Δ_g verallgemeinern. Dort ergibt die zugehörige Hitzeentwicklung eine Wärmekernel, deren kurze Zeit asymptotische Eigenschaften eng mit der Geometrie der Mannigfaltigkeit verknüpft sind. In beschränkten Bereichen treten Randbedingungen wie Dirichlet- oder Neumannbedingungen in Erscheinung, wodurch entsprechende Wärme- oder Green-Funktionen entstehen.

Verbindungen bestehen zur Wahrscheinlichkeitstheorie: Die Wärmedichte ist die Übergangsdichte des Brownschen Bewegungsprozesses, und das Feynman-Kac-Formalismus verknüpft Lösungen der Wärmegleichung mit Erwartungswerten über stochastische Pfade. Anwendungen finden sich in Diffusion, Bildverarbeitung, Wärmeleitungstechnik und Materialwissenschaften.