Neumannbedingungen

Neumann-Bedingungen, auch Neumann-Randbedingungen genannt, gehören zu den Randwertbedingungen bei partiellen Differentialgleichungen. Sie bestimmen nicht den Funktionswert auf dem Rand, sondern die Ableitung der gesuchten Größe in der Normalrichtung, also den Normalfluss durch den Rand.

Formell sei Ω eine beschränkte, glatte Region mit Rand ∂Ω, und u eine Lösung eines Differentialgleichungsproblems in Ω. Die Neumann-Bedingung lautet ∂u/∂n = ∇u · n = g auf ∂Ω, wobei n der äußere Normalenvektor ist und g eine gegebene Randfunktion. Im Gegensatz zu Dirichlet-Bedingungen, die u selbst festlegen, geben Neumann-Bedingungen nur den Fluss an.

Häufige Varianten umfassen die homogene Neumann-Bedingung g = 0. Bei vielen Problemsarten, etwa dem Laplace- oder Poissonproblem, ist die Lösung nur bis zu einer additiven Konstante eindeutig. Eine Normalisierung, zum Beispiel Mittelwert von u gleich Null, oder weitere Stabilitätsbedingungen, ist nötig, um Eindeutigkeit zu erlangen. Eine Kompatibilitätsbedingung verbindet Innen- und Randquellen: ∫Ω f dx = ∮∂Ω g ds, sofern -∆u = f in Ω gilt.

Anwendungen finden sich in der Wärmeleitung, dem Stofftransport, der Potentialtheorie, Elektromagnetismus sowie Strömungs- und Festkörpermechanik. In numerischen Verfahren, insbesondere der Finite-Elemente-Methode, erscheinen Neumann-Bedingungen als natürliche Randbedingungen in der schwachen Form. Robin- oder gemischte Randbedingungen kombinieren Neumann- und Dirichlet-Anteile.

Historisch stammt der Name von Carl Neumann, der zu Potentialtheorie und Randwertproblemen beitrug.