differentiërbaarheid

Differentiërbaarheid is een begrip uit de wiskunde dat de mogelijkheid beschrijft om nabij een punt een functie te benaderen met een lineaire kaart. Als zo’n lineaire benadering bestaat, zeggen we dat de functie differentiërbaar is op dat punt, en de bijbehorende lineaire kaart heet de afgeleide (of het differentieel) op dat punt.

Voor een functie f: R -> R is differentiërbaar in a als de limiet lim h→0 (f(a+h) − f(a))/h bestaat. De waarde van deze limiet is f′(a). Differentiërbaarheid impliceert continuïteit: een gedifferentieerde functie is altijd continu. Voorbeelden: polynomen zijn overal differentiabel; f(x) = |x| is niet differentiabel in x = 0.

In meerdere variabelen: een functie f: R^n -> R^m is differentiabel in a als er een lineaire kaart L bestaat zodanig dat f(a+h) = f(a) + L(h) + o(‖h‖) bij h → 0. De kaart L heet de differentiaal van f op a; de Jacobiaan is de matrix die L vertegenwoordigt. Als alle partiële afgeleiden bestaan en continu zijn in een buur van a, dan is f differentiabel in a. Differentiabiliteit impliceert continuïteit en vormt de basis voor lineairebenadering, de Taylor-reeks en varianten daarvan. Samenstelling: als g en f differentiabel zijn, dan is de samengestelde functie f ∘ g differentiabel.

Toepassingen vinden zich in optimalisatie, natuurkunde en numerieke analyse, waar differentiabiliteit essentieel is voor Doug afgeleide, benaderingen en convergentie van algoritmen.