derivabilidad

Derivabilidad, o derivabilidad, es la propiedad de una función de poseer una aproximación lineal en un punto. En una variable real, una función f: I → R es derivable en a si existe f′(a) y se cumple f(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + o(|x − a|) cuando x → a. En varias variables, f: U ⊂ R^n → R^m es derivable en a si existe una aplicación lineal Df(a): R^n → R^m tal que f(a + h) = f(a) + Df(a)[h] + o(∥h∥) cuando h → 0. Df(a) se llama derivada total o diferencial; para funciones reales, Df(a) se identifica con el gradiente.

La derivabilidad implica continuidad en el punto; sin embargo, la derivada o el diferencial puede no ser continuo. En una variable, f′(x) puede oscilar incluso cuando f es derivable en todos los puntos.

La diferenciabilidad se estudia mediante conceptos como las clases C^k (funciones con derivadas continuas hasta el orden k). Si las derivadas parciales existen y son continuas en un vecindario, la función es diferenciable allí. En unidimensional se aplica el teorema de la cadena y el teorema del valor medio: si f es derivable, existe c con (f(b) − f(a))/(b − a) = f′(c).

Ejemplos: f(x) = |x| no es derivable en 0; f(x) = x^2 sin(1/x) para x ≠ 0 y f(0) = 0 es derivable en 0, aunque su derivada no es continua en ese punto.

En espacios de R^n, las funciones Lipschitz son diferenciables casi en todas partes (teorema de Rademacher). La derivabilidad es central en optimización, análisis y física.