diferenciabilidad

La diferenciabilidad, o diferenciabilidad, de una función f: R^n → R^m en un punto p ∈ R^n es la existencia de una aproximación lineal de f en torno a p. Formalmente, f es diferenciable en p si existe una aplicación lineal L: R^n → R^m tal que lim_{h→0} || f(p+h) - f(p) - L(h) || / ||h|| = 0. La aplicación L se denomina diferencial de f en p y, cuando m=1, coincide con la jacobiana evaluada en p; en ese caso se suele identificar L con la matriz de derivadas parciales en p.

La diferenciabilidad implica continuidad: si f es diferenciable en p, entonces f es continua en p y la diferencial es única. Además, es compatible con la regla de la cadena: si g es diferenciable en p y f es diferenciable en g(p), entonces f∘g es diferenciable en p, con D(f∘g)(p) = Df(g(p)) ∘ Dg(p).

Relación con derivadas parciales: la existencia de derivadas parciales en p es necesaria para la diferenciabilidad, pero no basta. En general, si f tiene derivadas parciales en un vecindario de p y estas derivadas son continuas en p, entonces f es diferenciable en p. Un ejemplo clásico muestra lo contrario: la función f(x,y) = (x^2 y)/(x^4 + y^2) para (x,y) ≠ (0,0) y f(0,0)=0 tiene derivadas parciales en (0,0) iguales a 0, pero no es differentiable en ese punto.

Conceptos afines: se habla de C^1 cuando las derivadas parciales existen y son continuas; C^k y C^∞ para órdenes k o superiores, respectivamente; una función analítica es igual a su serie de potencias alrededor de cada punto.

Uso y relevancia: la diferenciabilidad permite aproximar f por su diferencial, facilita la aplicación de la regla de la cadena y es central en optimización, geometría diferencial y análisis.