diferenciable

Diferenciable es un término usado en cálculo para describir una función que puede ser aproximada linealmente alrededor de un punto. En una o varias variables, la diferenciabilidad formaliza la idea de una tasa de cambio bien definida y de una recta o plano tangente que aproxima localmente la función.

En una variable: f: R→R es diferenciable en a si existe f'(a) y se cumple f(a+h) = f(a) + f'(a) h + o(h) cuando h→0. En ese caso, f'(a) es la pendiente de la mejor recta que aproxima a f en a.

En varias variables: f: R^n→R^m es diferenciable en a si existe una aplicación lineal Df(a) tal que lim_{h→0} [f(a+h) - f(a) - Df(a) h]/||h|| = 0. La matriz de Df(a) se llama Jacobiana y describe la mejor aproximación lineal de f cerca de a.

La diferenciabilidad implica continuidad en ese punto. No toda función continua es diferenciable; por ejemplo, f(x) = |x| no es diferenciable en 0.

Suficientes condiciones: si las derivadas parciales existen en un entorno de a y son continuas en a, f es diferenciable en a. En particular, si f es de clase C^1, es decir, tiene derivadas parciales continuas, es diferenciable en todo su dominio. En análisis avanzado, también se utilizan conceptos como C^k y suave (C^∞) para describir distintos grados de diferenciabilidad.

Ejemplos: f(x) = x^2 es diferenciable en todo R; f(x) = |x| no es diferenciable en 0.