delingsrelatie

Delingsrelatie, in het Nederlands meestal aangeduid met de notatie “a deling b” of “a | b”, is de relatie tussen twee positieve gehele getallen waarbij het tweede getal een veelvoud is van het eerste. Concreet betekent a | b dat er een getal c bestaat zodat b = a · c. De relatie wordt vaak bestudeerd op de ruimte van positieve gehele getallen.

Kenmerken en algebraïsche structuur

Op de verzameling van positieve gehele getallen is deling een partiële orde: het is reflexief (a | a voor elk a), antisymmetrisch (als a | b en b | a dan is a = b), en transitief (als a | b en b | c dan a | c). Niet elk paar getallen is vergeleekbaar, dus geen totale orde. Er is een minimumelement 1, omdat 1 delt elk natuurlijk getal. Primes fungeren als atomen in deze orde: zij bedekken 1, oftewel er zijn geen andere delers tussen 1 en een priem.

Factorisatie en meetkundige structuur

Een getal a | b als en slechts als in de priemfactorisaties van a en b voor elke priem p de exponenten van a niet groter zijn dan die van b. De verzameling positive getallen onder deling vormt een lattice met gcd als meet en lcm als join. Dit betekent dat voor elk a en b er een grootste gemeenschappelijke deler is en een kleinste gemene veelvoud, respecetieve gcd(a,b) en lcm(a,b).

Toepassingen en algemene context

Delingsrelatie wordt gebruikt bij studie van delers, de eigenschappen van priemfactorisatie en telling van delers. Het concept is ook over te zetten naar andere ringen en meer algemene algebraïsche contexten: x | y betekent dan y = x·s voor een element s in de desbetreffende structuur.