continuiteit

Continuiteit is een fundamenteel begrip in de wiskunde dat aangeeft hoe functies reageren op kleine veranderingen in hun invoer. Intuïtief betekent het dat een continue functie geen abrupte sprongen vertoont: kleine aanpassingen in het domein leveren steeds kleine aanpassingen in het codomein op.

Formele definities: in metrische ruimtes f: X → Y is f continu op een punt a ∈ X als voor elke ε > 0 er een δ > 0 bestaat zodanig dat als d_X(x,a) < δ, dan d_Y(f(x), f(a)) < ε. Een equivalente topologische definitie is dat de inverse afbeelding van elke open verzameling in Y ook open is in X. Een veelgebruikte karakterisering is de sequentiële continuïteit: als x_n → a in X, dan volgt f(x_n) → f(a) in Y. In veel contexten zijn deze definities equivalent.

Eigenschappen en varianten: uniforme continuïteit houdt in dat δ afhankelijk is van ε maar niet van het gekozen punt; Lipschitz-continuïteit is een sterkere vorm waarbij er een constante L bestaat met d_Y(f(x), f(y)) ≤ L d_X(x,y). Op een compacte ruimte is elke continue functie uniform continu. Continuïteit is lokaal; veel functies zijn lokaal continu, maar niet overal.

Voorbeelden en niet-examples: polynomen zijn continu op het hele domein, √x is continu op [0,∞), de absolute waarde |x| is continu op ℝ. Een stapfunctie heeft een sprong en is discontinu bij de sprongpunten.

Toepassingen: continuïteit is cruciaal bij limieten, integraal- en differentiaalrekening, en in de topologie, waar continuïteit onder andere behoudt van samenstellingen en operaties zoals optellen en vermenigvuldigen van continue functies.