basisuitdrukking

Basisuitdrukking is in de lineaire algebra de uitdrukking van een vector v uit een vectorruimte V als een lineaire combinatie van de vectoren van een gekozen basis B = {b1, ..., bn} van V. Als v ∈ V, dan bestaan unieke scalars a1, ..., an uit het veld zo dat v = a1 b1 + ... + an bn. De n-tuple (a1, ..., an) wordt de basisuitdrukking van v ten opzichte van B genoemd en levert de coördinaten van v in B op; vaak spreekt men ook van [v]_B.

Bestaan en uniciteit hangen af van B: omdat B een basis is, is elk v uniek uit te drukken als een lineaire combinatie van de basisvectoren, en is deze uitdrukking volledig aanwezig doordat B V spanneert. Voor een eindig-dimensionale ruimte V hebben alle vectoren v zo’n basisuitdrukking, en de coördinaten vormen een element van het n-dimensionale coördinatensysteem F^n.

Inzichtelijk maakt de basisuitdrukking het mogelijk coördinaten te koppelen aan vectoren. Er bestaat een coordinatentransformatie φ_B: V → F^n met φ_B(v) = (a1, ..., an). Verander je van basis B naar een andere basis C, dan verkrijg je een veranderingsmatrix die [v]_C uitdrukt in termen van [v]_B. Deze notie onderstreept de rol van een basis als sleutel tot het vereenvoudigen van berekeningen en het vergelijken van vectoren in verschillende coördinatsystemen.

Toepassingen van basisuitdrukkingen komen voor in lineaire systemen, grafische transformaties en elke context waarin een vectorruimte met een gekozen basis wordt geanalyseerd.