afgeleideoperatoren

Afgeleideoperatoren zijn wiskundige operatoren die de afgeleide van een functie nemen. Ze worden gebruikt om veranderingen te meten en hebben toepassingen in analyse, meetkunde en natuurkunde. In één variabele is de standaardoperator d/dx, die voor een functie f(x) de afgeleide f'(x) oplevert.

In meervoudige variabelen gebruikt men naast de gewone afgeleide ook partiële afgeleiden, aangeduid met ∂/∂xi. Een belangrijke notatie voor differential operators is de nabla-operator ∇, waarmee verschillende afgeleideoperatoren worden samengevat. De gradient, ∇f, is een vector van de partiële afgeleiden van een scalair veld f. Voor een vectorveld F = (P, Q, R) bestaan de belangrijkste operatoren uit de divergente ∇·F en de curl ∇×F. De divergente meet de bron- of sink-kracht van een vectorveld, de curl geeft de rotatie ervan. De Laplaciaan, ∇²f = ∂²f/∂x² + ∂²f/∂y² + ∂²f/∂z², is een tweede orde scalar-operator die veelvuldig in differentiaalvergelijkingen verschijnt.

Eigenschappen van afgeleideoperatoren zijn onder andere lineariteit en de productregel. Een operator L is linear als L(cf + dg) = cLf + dLg. Voor productregel geldt bijvoorbeeld ∂(fg)/∂x = f ∂g/∂x + g ∂f/∂x. Bij voldoende smoothheid van f bedragen de gemengde partiële afgeleiden in beide volgorden hetzelfde (Schwarz’ symmetriciteit).

Een concreet voorbeeld: laat f(x, y) = x²y. Dan is ∂f/∂x = 2xy en ∂f/∂y = x². De gradient is ∇f = (2xy, x²). Afgeleideoperatoren vinden toepassingen in natuurkunde, techniek, fluid-dynamica en beeldverwerking.