affiniteetit

Affiniteetit ovat geometrisia muunnoksia, jotka säilyttävät affiiniset yhdistelmät. Yleisesti ne voidaan kuvata funktiolla f: R^n → R^m, jossa f(x) = Ax + b, jossa A on lineaarinen kartta ja b on vakioenkeli. Tällainen muunnos on affiniteetti.

Affiniteetti säilyttää suorat ja kollineaarisuuden, eli f((1 − t)x + ty) = (1 − t)f(x) + tf(y) kaikilla x, y ∈ R^n ja kaikilla t ∈ R. Toisin kuin isommin etäisyydet tai kulmat, affiniteetit eivät yleensä pidä kiinni etäisyyksiä tai kulmia, ellei A ole erityinen (esimerkiksi ortogonallinen ja b = 0, jolloin muunnos on rotaatio- tai peilimuunnos tai niiden yhdistelmä).

Ryhmä ja rakenne: kaikkien affiniteettien joukko on usein merkitty Aff(n) ja se on ei-vuorovaikutteinen yhdistelmä GL(n) (eli ei-selluinen lineaarinen osa) ja vektorien lisäosa. Formaali kirjoitus GA(n) tai Aff(n) viittaa affiniteettien ryhmään, jossa koostaminen on suljunsääntö. Inversio: f(x) = Ax + b on käännettävä, jos A on käännettävissä; sen käänteismuunnos on f⁻¹(y) = A⁻¹(y − b).

Matriisi- ja koordinaattirakenteet: voidaan käsitellä homogeenisissa koordinaateissa 2x2- tai yleisemmin (n+1)×(n+1) -matriisilla [A b; 0 1], jolla toiminta on lineaarinen homogeenisissa koordinaateissa. Tämä helpottaa koostamista ja esittämistä tietokoneissa.

Esimerkkejä ja sovelluksia: affiniteetteja käytetään laajasti tietojenkäsittelyssä, grafiikassa, kartoituksessa ja geometriassa, kun halutaan kuvata siirtymiä, skaalauksia, venytyksiä tai vinouksia sekä niiden yhdistelmiä.