Zwischenwerten

Zwischenwerten, im mathematischen Kontext oft im Zusammenhang mit dem Zwischenwertsatz (Satz vom Zwischenwert) verwendet, bezeichnet die Eigenschaft, dass eine Funktion alle Werte zwischen zwei Funktionswerten annimmt. Der zentrale Satz lautet: Sei f eine reellwertige Funktion, die auf einem abgeschlossenen Intervall [a,b] stetig ist. Dann gibt es zu jedem y zwischen f(a) und f(b) ein c in [a,b], sodass f(c) = y. Folglich ist das Bild f([a,b]) ein Intervall, das durch die Werte f(a) und f(b) bestimmt ist. Besitzt f(a) und f(b) unterschiedliche Vorzeichen, existiert sogar ein c in (a,b) mit f(c) = 0.

Kernpunkte: Die Stetigkeit ist wesentlich; Monotonie ist keine Voraussetzung. Die Zwischenwerteigenschaft gilt für jedes Intervall in dem Definitionsbereich, auf dem die Funktion stetig ist. Funktionen mit Lücken oder Sprüngen können diese Eigenschaft verfehlen, obwohl einige unstetige Funktionen trotzdem Teile des Zwischenwertsaphabets erfüllen.

Beispiele: Die Funktion f(x) = x^3 ist auf jedem Intervall stetig, etwa auf [-2,1], und liefert alle Werte zwischen -8 und 1. Nach dem Zwischenwertsatz existiert auch ein Punkt mit f(c) = 0, obwohl f nicht explizit auf eine Nullstelle hingewiesen wird.

Anwendungen und Verallgemeinerungen: Der Satz dient der Begründung der Existenz von Lösungen von Gleichungen und bildet die Grundlage vieler numerischer Verfahren wie dem Bisektionsverfahren. Eine Verallgemeinerung betrifft die Ableitung: Der Satz vom Zwischenwert gilt auch für differentiable Funktionen, wobei der Derivatorenteil die Darboux-Eigenschaft hat (Derivate besitzen das Zwischenwertprinzip, obwohl sie nicht notwendigerweise stetig sind). In mehrdimensionalen oder komplexeren Kontexten gelten andere Arten von Zwischenwerten. Die Entwicklung des Begriffs geht historisch auf Bolzano zurück und wurde später von Cauchy und anderen eingerahmt.