Zwischenwert

Zwischenwert ist ein Begriff aus der Analysis, der vor allem im Zusammenhang mit dem Zwischenwertsatz (englisch: intermediate value theorem) verwendet wird. Er beschreibt die Eigenschaft einer stetigen Funktion, jeden Wert zwischen zwei Funktionswerten auf einem Intervall zu erreichen.

Der Zwischenwertsatz lautet in einer gängigen Fassung: Sei f stetig auf dem geschlossenen Intervall [a,b]. Ist y ein Wert zwischen f(a) und f(b) (d. h. min{f(a), f(b)} ≤ y ≤ max{f(a), f(b)}), dann existiert mindestens ein c in [a,b] mit f(c) = y. Ist y strikt zwischen f(a) und f(b), liegt ein entsprechendes c in (a,b). Die Stetigkeit ist wesentlich; ohne sie kann der Wertverlust auftreten und der Satz kann falsch sein.

Folgen und Bedeutung: Der Zwischenwertsatz garantiert das Vorhandensein von Nullstellen oder verifiziert die Möglichkeit, durch Klein- und Mittelwertverfahren Lösungen von Gleichungen zu finden. Ein häufiges Anwendungsbeispiel ist die Stimmigkeit der Behauptung, dass eine Funktion mit unterschiedlichen Vorzeichen an den Stützpunkten eines Intervalls irgendwo Null wird (F(a)·F(b) < 0). Die Methode der Bisektion nutzt dieses Prinzip.

Beispiele: Die Funktion f(x) = x auf dem Intervall [0,1] erreicht jeden Wert zwischen 0 und 1, etwa y = 0,5 bei c = 0,5. Die Sinusfunktion sin(x) auf [0, π] nimmt jeden Wert zwischen 0 und 1 an; z. B.存在 c mit sin(c) = 0.5.

Zusammenhang: Aus dem Zwischenwertsatz folgt, dass das Bild eines zusammenhängenden Intervalls unter einer stetigen Funktion wieder ein Intervall ist. Das Prinzip wird auch als Darboux-Eigenschaft bezeichnet.