Bisektion

Bisektion bezeichnet in der Geometrie den Vorgang, ein Objekt in zwei gleich große Teile zu teilen. Typisch sind Segmentbisektion und Winkelbisektion. Bei der Segmentbisektion handelt es sich um eine Gerade oder Ebene, die einen Streckenabschnitt AB in zwei gleich lange Teilabschnitte teilt. Eine wichtige Spezialform ist die Senkrechte Mittelschnitte der Strecke AB: Sie verläuft durch den Mittelpunkt M von AB und besteht aus allen Punkten, die von A und B gleichen Abstand haben. Dadurch schneidet sie AB im Mittelpunkt und ist senkrecht zu AB.

Bei der Winkelbisektion wird ein Winkel durch eine Halbwene oder einen Strahl durch den Scheitel so geteilt, dass die beiden entstehenden Winkel gleich groß sind. Die Winkelhalbierende besteht also aus allen Punkten, die von den beiden Seiten des Winkels den gleichen Abstand haben. Eine zentrale Eigenschaft der Winkelhalbierenden in Dreiecken ist das Winkelhalbierenden-Theorem: Die von einem Scheitelpunkt ausgehende Winkelhalbierende teilt die gegenüberliegende Seite im Verhältnis der Längen der angrenzenden Seiten.

Wichtige Sätze und Eigenschaften: Der Satz über die Perpendiculare bisector besagt, dass jeder Punkt auf der Senkrechten Mittelschnitte gleich weit von den Endpunkten eines Segments entfernt ist; umgekehrt liegt jeder Punkt, der gleich weit von den Endpunkten entfernt ist, auf dieser Mittelschnitte. Die Winkelhalbierende eines Dreiecks teilt die gegenüberliegende Seite so, dass das Verhältnis der Anteile der Seite dem Verhältnis der angrenzenden Seitenlängen entspricht.

Konstruktion: Mit Zirkel und Lineal lassen sich Winkel- und Segmentbisektoren geometrisch bestimmen. Zur Winkelhalbierenden eines gegebenen Winkels A: Bögen von identischer Radius an beiden Seiten ziehen, Schnittpunkte verbinden. Zur Senkrechten Mittelschnitte eines Segments AB: Mittelpunkt M von AB bestimmen, dann durch M eine Gerade senkrecht zu AB ziehen.