ZweiteQuantisierung

Die Zweite Quantisierung ist ein Formalismus der Quantenmechanik, der die Behandlung vieler Teilchen mit veränderlicher Teilchenzahl ermöglicht. Im Gegensatz zur ersten Quantisierung, bei der man mehrteilige Zustände durch Wellenfunktionen in einem festen Hilbertraum beschreibt, arbeitet die zweite Quantisierung mit Feldoperatoren, die Teilchen erzeugen und vernichten, und mit dem Fock-Raum von Zuständen unterschiedlicher Teilchenzahl.

Mathematisch basiert der Formalismus auf Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren sowie Feldoperatoren ψ†(x) und ψ(x). Für Bosonen erfüllen sie Kommutationsrelationen [a_k, a†_l] = δ_kl bzw. [ψ(x), ψ†(x')] = δ(x − x'), während Fermionen die Antikommutationsrelationen {a_k, a†_l} = δ_kl bzw. {ψ(x), ψ†(x')} = δ(x − x') erfüllen. Der Fockraum enthält Zustände mit beliebiger Teilchenzahl, die durch Anwendung von Erzeugungsoperatoren auf den Vakuumzustand erzeugt werden. Die zweite Quantisierung erlaubt es, Symmetrien der Teilchen (Bosonen vs. Fermionen) automatisch zu berücksichtigen, ohne jedes Teilchen explizit zu unterscheiden.

Typische Hamiltonoperatoren lassen sich in der zweiten Quantisierung schreiben. In kontinuierlicher Raumdarstellung lautet H häufig H = ∫ dx ψ†(x)[−∇²/2m + V(x)]ψ(x) + 1/2 ∫ dx dx' ψ†(x) ψ†(x') W(x − x') ψ(x') ψ(x). In Varianten mit Moden- oder Lattice-Basis ergeben sich äquivalente Formen wie H = ∑k ε_k a†_k a_k + 1/2 ∑_{klmn} V_{klmn} a†_k a†_l a_m a_n. Anwendungen finden sich in der Quantenoptik, der Kondensierten Materie, der Ultrakalten-Atomen sowie in der Quantenchemie, wo viele-Teilchen-Wechselwirkungen systematisch beschrieben werden.

Zweite Quantisierung ist damit ein zentrales Werkzeug der modernen Quantenphysik, das die Behandlung von Vielteilensystemen vereinfacht und auf verschiedene Teilchenarten übertragbar macht.