Zustandsregelung

Zustandsregelung ist eine Methode der Regelungstechnik, bei der die Stellgröße u eines dynamischen Systems aus dem Zustand x des Systems abgeleitet wird. Sie basiert auf einer Zustandsdarstellung des Systems und zielt darauf ab, den Zustand auf einen gewünschten Referenzzustand zu bringen oder zu halten. Wenn der vollständige Zustand gemessen werden kann, erfolgt die Regelung direkt über das Zustandsvektor. Bei unvollständiger Messung kommt ein Zustandsbeobachter hinzu, der aus Messungen y den Zustand x schätzt.

In der typischen linearen Zeitinvarianten Form wird das System beschrieben durch ẋ = Ax + Bu, y = Cx + Du, wobei x ∈ R^n der Zustand, u ∈ R^m die Stellgröße und y ∈ R^p die Messgröße ist. Ziel ist es, eine Rückführung u = -Kx (ggf. mit Referenzteil) zu wählen, sodass die geschlossene Regelung ẋ = (A − BK)x + Bv eine gewünschte Dynamik aufweist. Durch geeignete Wahl von K lassen sich die Eigenwerte von A − BK in den stabilitätsrelevanten Bereich legen oder bestimmte Polpositionen realisieren.

Designmethoden umfassen die Polplatzierung (Zustandsregler-K zu den gewünschten Pole setzen) und den Linear-Quadratic-Regulator (LQR), der ein Kostenfunktion J = ∫ (x^T Qx + u^T Ru) dt minimiert und daraus eine K ergibt. Notwendig ist dabei Stabilisierbarkeit von (A,B). Bei fehlender Direktauslesung des Zustands ergänzt ein Zustandsbeobachter (z. B. Luenberger-Observer) den Regelkreis, sodass u = -K x̂ implementiert wird.

Zustandsregelung wird in Robotik, Antriebstechnik, Fahrzeug- und Flugregelung sowie in vielen anderen Bereichen eingesetzt, wo eine schnelle, robuste Stabilisierung des Systems gefordert ist.