Zustandsmenge

Zustandsmenge bezeichnet in Mathematik und Systemtheorie die Menge aller möglichen Zustände eines dynamischen Systems. Ein Zustand ist eine vollständige Beschreibung, aus der die Zukunft eindeutig bestimmt werden kann, sofern Dynamik und äußere Signale bekannt sind.

Die Zustandsmenge wird oft mit X oder S bezeichnet und ist meist ein Unterraum von R^n, kann aber auch Strukturen wie Mannigfaltigkeiten oder diskrete Mengen umfassen.

Der Zustandsvektor umfasst n Variablen; die Dimension der Zustandsmenge entspricht der minimalen Anzahl der Variablen, die zur Beschreibung der Dynamik nötig sind. Typisch ist X ⊆ R^n, doch Nebenbedingungen können Teile ausschließen.

Die Systemdynamik wird durch Zustandsgleichungen beschrieben: Im kontinuierlichen Zeitverlauf dx/dt = f(x,u,t) mit Eingabe u(t) und Ausgang y = h(x,u,t); im diskreten Zeitverlauf x_{k+1} = f(x_k,u_k,k) und ggf. y_k = h(x_k,u_k,k). Die Anfangsbedingung wählt x0 aus der Zustandsmenge.

Relevanz: Die Zustandsmenge bildet die Grundlage für Modellierung, Zustandsschätzung (z. B. Kalman-Filter), Regelungstheorie (Kontrollierbarkeit, Beobachtbarkeit, Erreichbarkeit) und Stabilitätsanalysen. In Hybrid- oder Nichtlinearsystemen kann die Zustandsmenge in Teilräume unterteilt sein.

Beispiele: Ein Fahrzeug mit Position und Geschwindigkeit hat Zustandsmenge R^2. Ein Pendel hat den Zustandsvektor (θ, θ̇). Ein chemisches Reaktionsnetzwerk beschreibt mehrere Konzentrations- oder Volumen-Zustände.

Abgrenzung: Der Begriff Zustandsmenge unterscheidet sich vom Konfigurationsraum; letzterer umfasst oft nur Generalisierte Positionen, ohne Geschwindigkeiten.