Teilräume

Ein Teilraum U eines Vektorraums V über einem Körper F ist eine Untermenge von V, die mit den in V geltenden Operationen wieder ein Vektorraum ist. Dafür gelten drei Bedingungen: der Nullvektor 0_V gehört zu U; U ist abgeschlossen unter der Vektoraddition, d. h. u, w ∈ U ⇒ u + w ∈ U; U ist abgeschlossen unter der Skalarmultiplikation, d. h. a ∈ F und u ∈ U ⇒ a·u ∈ U. Aus diesen Bedingungen folgt, dass Teilräume die Struktur eines Vektorraums beibehalten.

Jede Teilmenge S ⊆ V erzeugt den zugehörigen Unterraum Span(S) = kleinstes U ⊆ V, das alle Vektoren in S enthält und Unterraum ist. Ein Basis von U ist eine linear unabhängige Erzeugendmenge, deren Span U exakt ist. Die Dimension von U ist die Anzahl der Vektoren in einer Basis; ist U endlichdimensional, so ist jedes Erzeugendset mindestens so groß wie eine Basis.

Beispiele: In R^n mit den Standardoperationen sind Linien durch den Ursprung Teilräume (z. B. die Menge {t·v : t ∈ R} für festes v ∈ R^n). Eine Ebene durch den Ursprung und allgemein jeder Unterraum, der durch Gleichungen mit Ursprung beschrieben wird, ist ebenfalls ein Teilraum. Im Gegensatz dazu ist eine Gerade oder Ebene, die nicht durch den Ursprung verläuft, kein Teilraum.

Wichtige Eigenschaften: Der Schnitt zweier Teilräume ist wieder ein Teilraum; die Summe U+W = {u+w : u ∈ U, w ∈ W} ist ebenfalls ein Teilraum. Im endlichdimensionalen V gilt: dim(U+W) = dim U + dim W − dim(U ∩ W). In innerproduktrummen Vektorräumen lässt sich der orthogonale Komplement U⊥ als weiterer Teilraum interpretieren.