Zufallsparameter

Zufallsparameter bezeichnet in der Statistik einen Parameter, der nicht als fest, sondern als Zufallsgröße modelliert wird. Statt einen einzelnen unbekannten Wert zu schätzen, wird dem Parameter eine Verteilung zugeordnet, die seine Variabilität über Populationen oder Bedingungen abbildet.

In der Bayesschen Statistik entspricht dies der Annahme, dass der Parameter θ eine Zufallsvariable mit einer Priorverteilung p(θ) besitzt. In gemischtmodellen oder hierarchischen Modellen tauchen Zufallsparameter als Zufallseffekte auf, etwa als Zufallsintercept oder Zufallslope, deren Werte aus einer Verteilung wie der Normalverteilung gezogen werden (z. B. b0j ~ N(0, σ_b0^2)). Diese Struktur modelliert zwischen- oder innerhalb-gruppale Unterschiede und ermöglicht Partial Pooling.

Häufige Beispiele sind Zufallsintercepts und Zufallssteigungen in linearen Mischmodellen; dort werden die Parameter der Gruppe j als Zufallsvariablen modelliert, um Heterogenität abzubilden und eine partielle Pooling-Eigenschaft zu ermöglichen. Zufallsparameter helfen, Unterschiede zwischen Einheiten wie Personen, Standorten oder Zeitpunkten zu berücksichtigen, ohne jeden Parameter exklusiv festzulegen.

In der Praxis erfolgt die Inferenz durch Bayes’sche Methoden (MCMC, Variational Inference) oder durch empirisch Bayes bzw. gemischte Modelle mit Maximum-Likelihood-Schätzung via EM-Verfahren. Die Modellierung einer Verteilung über Parameter führt zu einer marginalen Wahrscheinlichkeitsverteilung der Beobachtungsdaten und ermöglicht eine Quantifizierung von Unsicherheit auf Parameter-Niveau.

Vorteile liegen in der Fähigkeit, Heterogenität abzubilden, Shrinkage zu ermöglichen und Generalisierung zu verbessern; Nachteile sind erhöhte Modellkomplexität, Rechenaufwand und potenziell schwierige Identifikation der Hyperparameter.