Zufallseffekten

Zufallseffekt bezeichnet in statistischen Modellen einen Anteil der Variation, der auf Unterschiede zwischen zufällig ausgewählten Einheiten zurückgeht. Er wird als zufällige Größe modelliert, typischerweise als normalverteilt mit Mittelwert Null und einer Varianz, die als Varianzkomponente des Zufallseffekts bezeichnet wird. Durch ihn lässt sich die Heterogenität zwischen Gruppen oder wiederholten Messungen berücksichtigen.

Im Gegensatz zu festen Effekten, die systematische Unterschiede zwischen definierten Gruppen ausdrücken, repräsentieren Zufallseffekte Variation, die aus einer größeren Population stammt. Zufallseffekte ermöglichen generalisierbare Aussagen über die Population, während feste Effekte primär die beobachteten Gruppenunterschiede beschreiben.

In Mischungsmodellen wird der Zufallseffekt oft durch einen Term Z u abgebildet, wobei u normalverteilt mit Varianzkomponente Var(u) ist und unabhängig von den Residuen e gilt. Typische Strukturen sind Zufallseffekte für Gruppen (z. B. Schulen, Kliniken) oder für Messwiederholungen (zufälliger Achsenabschnitt, zufällige Steigungen). Die Modelle können auch verschachtelte oder Kreuzungsstrukturen enthalten.

Schätzmethoden umfassen Maximum-Likelihood (ML) und Restricted Maximum Likelihood (REML), wobei REML oft bevorzugt wird, um Verzerrungen bei Varianzschätzungen zu reduzieren. Woraus sich die Modelle ableiten lässt, hängt von Annahmen wie Normalität, Unabhängigkeit der Effekte und Varianzstabilität ab.

Anwendungsgebiete finden sich in Psychologie, Biologie, Ökonomie und Bildungsforschung, insbesondere wenn Daten hierarchisch organisiert sind, wiederholte Messungen vorliegen oder Stichproben aus mehreren Gruppen stammen. Softwarepakete wie lme4 (R), SAS PROC MIXED und Stata gllamm unterstützen entsprechende Analysen.