Zentroidbestimmung

Zentroidbestimmung bezeichnet die Bestimmung des Zentrums oder Schwerpunkts einer Geometrie oder einer Punktmenge. In der Geometrie entspricht der Zentroid dem Massenschwerpunkt bei gleichgewichteten Objekten; bei einer endlichen Menge von Punkten ist er der arithmetische Mittelwert ihrer Koordinaten.

Für eine Punktmenge mit n Punkten (xi, yi) gilt: xbar = (1/n) sum_i xi, ybar = (1/n) sum_i yi. Das Ergebnis ist der Mittelpunkt der Masse, wenn alle Punkte gleiche Masse tragen. Bei gewichteten Mengen ersetzt man die Gleichung durch xbar = sum_i wi xi / sum_i wi und similarly ybar mit den Gewichten wi.

Für einfache Polygone lässt sich der Zentroid über Flächenformeln bestimmen. Die Fläche A des Polygons ergibt sich aus einer Summe der Kreuzprodukte der zusammengehörigen Eckpunkte. Der Mittelpunkt des Massenschwerpunkts eines Polygons wird dann durch Cx = (1/(6A)) sum_i (xi + xi+1)(xi yi+1 − xi+1 yi) und Cy = (1/(6A)) sum_i (yi + yi+1)(xi yi+1 − xi+1 yi) berechnet, wobei aufeinander folgende Eckpunkte verbunden sind und der Index zyklisch ist.

Gewichtete Zentroiden entstehen, wenn den Datenpunkten unterschiedliche Massen zugeordnet werden. Zudem spielen Zentroiden in der Bildverarbeitung eine Rolle, wo sie über Momentenberechnungen bestimmt werden: xbar = m10/m00 und ybar = m01/m00, wobei mkl die Hu-Momente der Grauwerte darstellen.

Anwendungen finden sich in Statistik und Datenanalyse, Computer Vision, Robotik, Geoinformatik, CAD und Pattern Recognition. Grenzen ergeben sich bei ungleichen Gewichten, komplexen Formen oder Objekten mit Löchern, wo der Zentroid nicht das intuitive Zentrum des Objekts widerspiegelt. Siehe auch Schwerpunkt, Massenschwerpunkt und Momentenrechnung.