Wellenpakets

Ein Wellenpaket (Plural Wellenpakete) ist eine lokal begrenzte Störung, die durch die Superposition vieler Wellen unterschiedlicher Wellenzahlen oder Frequenzen entsteht. In der Quantenmechanik beschreibt ein Wellenpaket häufig den Zustand eines Teilchens: Das Quadrat des Betrags der Wellenfunktion liefert die Wahrscheinlichkeitsdichte für Ort und Impuls, und eine endliche Breite der Momentumverteilung führt zu einer räumlich lokalisierbaren Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Die Bewegung eines Wellenpakets wird durch die Gruppen-Geschwindigkeit bestimmt, die sich aus der Dispersion der zugrunde liegenden Wellen ergibt. Für einen freien, nichtrelativistischen Partikel gilt ω(k) = ħk^2/(2m) und die Gruppen-Geschwindigkeit v_g = dω/dk = ħk/m = p/m. Das Zentrum des Pakets folgt annähernd der klassischen Trajektorie, während sich die Breite des Pakets durch Dispersion mit der Zeit ausbreitet. Bei typischen Gaußschen Wellenpaketen lässt sich die Breite zu Beginn durch Δx0 festlegen; mit der Zeit wächst sie weiter an.

Die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen in einem bestimmten Bereich zu finden, ergibt sich aus der Wahrscheinlichkeitsdichte |ψ(x,t)|^2. Die Heisenbergsche Unschärferelation Δx Δp ≥ ħ/2 verbindet die Spreads der Orts- und Impulsverteilungen; eine engere Momentum-Verteilung führt zu einer größeren Ortsausdehnung des Pakets und umgekehrt.

Wellenpakete spielen eine zentrale Rolle in der Quantenmechanik und in der Quantenoptik. Sie dienen zur anschaulichen Beschreibung der Lokalisierung von Teilchen, der Überführung von Quantenmechanik in klassische Bahnen und zur Analyse von Pulsformen in optischen Systemen. In freiem Raum breiten sich Wellenpakete aufgrund der Dispersion allmählich aus, während sie in komplexeren Medien Form und Geschwindigkeit verändern können.