Wellenpakete

Ein Wellenpaket ist eine lokalisierte Beschreibung eines Wellenphänomens, die durch Überlagerung vieler Monochromatischer Wellen mit ähnlichen Wellenzahlen entsteht. Durch diese Überlagerung ergibt sich eine vergrößerte Frequenzbandbreite, die das Paket zeit- und räumlich begrenzt macht.

In der Quantenmechanik beschreibt ein Wellenpaket den Zustand eines Teilchens. Die wahrscheinliche Aufenthaltswahrscheinlichkeit ist durch das Betragsquadrat der Wellenfunktion |ψ(x,t)|^2 gegeben. Die Position und der Impuls des Teilchens sind durch die Fourier-Relation verbunden: Das Spektrum im Impulsraum φ(k) ist die Fourier-Transformierte von ψ(x,t). Die Unschärferelation Δx Δp ≥ ħ/2 folgt direkt aus dieser Verknüpfung.

Die Gruppengeschwindigkeit des Pakets ist v_g = dω/dk; für freies Teilchen mit ω = E/ħ = ħk^2/(2m) gilt v_g = ħk/m = p/m, also die klassische Teilchengeschwindigkeit. Die Phasengeschwindigkeit ist v_p = ω/k = ħk/(2m). Wegen der Dispersion breiten sich Wellenpakete mit der Zeit aus; generell verbreitert sich das Paket, insbesondere in dispersiven Medien.

Ein häufiges Beispiel ist das gaußsche Wellenpaket, das eine einfache Anfangsverteilung besitzt. Für eine Anfangsbreite σ_x0 ergibt sich bei freier Ausbreitung eine zeitliche Breite σ_x(t)^2 = σ_x0^2 + (ħ t /(2 m σ_x0))^2, wodurch das Paket mit der Zeit breiter wird. Die Breite spiegelt die Unschärfe in Impuls wider, Δx Δp ≈ ħ/2.

Wellenpakete sind zentrale Konzepte in der Quantenmechanik und in der Physik des Lichts. Sie dienen zur Beschreibung von Elektronenbahnen, kohärentem Licht in Lasern und Quanteninformation, wo die Lokalisierung von Zuständen und deren Dynamik wichtig ist.